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直线是最简单的几何图形,而圆则是最重要的几何图形之一,和直线和圆有关的试题经常出现在各种数学竞赛中.下面我们分两期来介绍和直线及圆有关的竞赛试题,以飨读者.本文将重点分析直线或圆的一些问题,综合性较强的问题则放在下期介绍.

一、 知识拓展

本期先来谈谈直线方程的相关知识,主要有以下两点：

1 两直线的位置关系

设l1：A1x+B1y+C1等于0, l2:A2x+B2y+C2等于0 （或l1:y等于k1x+b1, l2:y等于k2x+b2）,则

（1） l1∥l2A1B2-A2B1等于0且A1C2-A2C1≠0 （或k1等于k2且b1≠b2）；

（2） l1⊥l2A1A2+B1B2等于0 （或k1?k2等于-1）.

2 直线系

若直线l1:a1x+b1y+c1等于0和直线l2:a2x+b2y+c2等于0相交于P,则他们的线性组合λ(a1x+b1y+c1)+u(a2x+b2y+c2)等于0 （λ, u∈R,且全不为0）（*）表示过P点的直线系.当参数λ, u为一组确定的值时,（*）表示一条过定点过P点的直线.特别的,当λ等于0时,（*）式即l2:a2x+b2y+c2等于0；当u等于0时,（*）式即l1:a1x+b1y+c1等于0.对于l1, l2以外的直线,我们往往只在（*）式中保留一个参数,而使另外一个为1.

又若l1和l2平行,这时（*）式表示所有和l1平行的直线.

这一直线系方程的定义比上一篇文章中的介绍综合性更强,需要同学们仔细思考.

圆的相关知识我们留待下期介绍.

二、 例题解析



1 直线问题

例1

(第十届“希望杯”高二第一试试题)过点P(1, 1)且和两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是.

解

记过点P(1, 1)的动直线为l, Q(0, 1), O为坐标原点(如图1),则当直线l从OP的位置绕点P顺时针转动到直线PQ的位置时,它和坐标轴在第二象限内围成的三角形的面积从零趋向于+∞,故围成的三角形在第二象限时,满足条件的直线l有且只有一条,同理,围成的三角形在第四象限时,满足条件的直线l也有且只有一条,并且,满足条件的三角形在第三象限不存在.当围成的三角形在第一象限时,显然l存在斜率k,设l的方程为y－1等于k(x－1), (k<0), l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A, B,则A1－1k, 0, B(0, 1－k).所以S=12OA?OB=121－1k?(1－k)=1+12(－k)+1(－k)≥2,即当k=－1时,S的最小值为2,故当围成的三角形在第一象限时,满足题设的直线也只有一条.

综上,所求的直线为3条.

(注：此处运用了基本不等式,是必修5的内容,但在竞赛中,是很常见的手段和技巧.)

评析

上述解法是用运动变化的观点和数形结合的思想方法分析答案的可能性.围成的三角形在第二、四象限时,l只有一条,围成的三角形在第三象限不可能,这些是容易看到的,关键是围成的三角形在第一象限时,满足题设的直线l有几条.直观地看,可能性有三个:0条,1条,2条.

此题的推广及详细解法同学们可参见本期问题探究栏目的文章《学而不思则罔,思而不学则殆》的问题2.

例2

（第八届“希望杯”高二培训题第2题）线段AB的端点坐标是A（-1, 2）, B（2,- 2）,直线y等于kx+3和线段AB相交的充要条件是()



A －52≤k≤1

B 1≤k≤52

C －52≤k≤1且k≠0

D k≤－52或k≥1

解法1

线段AB的方程为y+22+2等于x－2－1－2,即4x+3y-2等于0 (-1≤x≤2),由y等于kx+3,4x+3y－2等于0,得x等于－74+3k,令-1≤－74+3k≤2,解得k≤－52或k≥1,选D.

解法2

如图2所示,y等于kx+3是过定点M（0, 3）的直线系方程,易求得直线MA, MB的斜率分别是kMA等于1, kMB等于－52,当直线MA绕点M逆时针旋转和线段AB相交时,其斜率由1趋向于+∞；当直线MB绕点M顺时针旋转和线段AB相交时,其斜率由－52趋向于-∞,所以k≤－52或k≥1,故选D.

评析

解法1运用的是方程思想,若运用这个思想,先求出直线MA, MB和x轴的交点的横坐标A1, B1,并求出直线y等于kx+3和x轴的交点N的横坐标Nx,再解A1≤Nx≤B1,同样可以解决问题.解法2直接通过观察图象,看直线y等于kx+3和线段AB相交时的k和kMA, kMB之间的关系而选D,显得直观明了.

2 有关圆的问题

例3

（2010年山东省高中数学联赛）已知△ABC的垂心为H,若B(0, 0), C(2, 0),且点H在圆(x－1)2+(y+1)2等于2上移动,则动点A的轨迹为.

解

设A(x, y), H(x, y1).

当x≠0, x≠2时,y1x?yx－2等于－1,即y1等于－x2－2xy.

因点H在圆(x－1)2+(y+1)2等于2上,所以(x－1)2+－x2－2xy+12等于2,即

y2(x2－2x+1)+［y－(x2－2x)］2等于2y2,

(x2－2x)(y2－2y+x2－2x)等于0.

结论：关于几何方面的的相关大学硕士和相关本科毕业论文以及相关几何证明题100道及答案论文开题报告范文和职称论文写作参考文献资料下载。

思维竞赛（9）
参赛须知：*解答请独立完成，不抄题目只写题号及解答，答案请写在信封背面。*写清学校班级及联系方式，有辅导教师的请注明。*来信在信封左下角注上“创。

第三届启智杯数学思维与应用能力竞赛试卷（初中组）
说明：本卷共12题，每题10分，满分120分 答题时间120分钟 1 已知一数列的前3项依次为2，4，16 根据你的观察，请写出数列的第4项。

初始计量和后续计量理论辨析和初步结论（上）
【摘要】国际会计准则理事会认为，会计计量的目标是有助于忠实地陈报相关的信息，对所有资产和负债采用单一的计量基础并不能提供最为相关的信息。在选择某。

初始计量和后续计量理论辨析和初步结论（下）
【摘要】资产和负债的初始计量主要采用以成本为基础的计量、现行市场价格（含公允价值）或以现金流量为基础的其他计量方法。资产的后续计量方法取决于一项。