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根据上面的结论可知,当点P在圆O上时,作出直线l很容易,这时因为直线l是一条过点P且与圆O相切的直线,据此我们就会自然而然地提出下列两个问题：
问题1：当点P（a,b）在圆O外时,怎样作出这样的直线l?
问题2：当点P（a,b）在圆O内（异于坐标原点O）时,怎样作出这样的直线l?
我们先来研究第一个问题.此时,直线l与圆O是相交的,
第一步,作出以OP为直径的圆M,交圆O于A,B两点;
第二步,连结A,B,所得直线AB即为l（如图1）.
由于OP为圆M的直径,故连结PA,PB,OA,OB可得OA⊥PA,OB⊥PB,于是PA,PB均为圆O的两条切线,于是直线l也可以通过如下步骤作出来：
第一步,过圆O外的点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B;
第二步,连结A,B,所得直线AB即为l（如图2）.
下面我们再来研究第二个问题.当点P（a,b）在圆O内（异于坐标原点O）时,怎样作出直线l.
过点P任作一直线l1交圆O于点A1,B,,分别过点A1,B1作圆O的两条切线相交于点Q1,不妨设点Q1的坐標为点（x1,y1）,由第一个问题的讨论可知x1,y1满足方程ax1+by1等于r2.同样再过点P任作另一条直线l2交圆O于点A2,B2,分别过点A2,B2作圆O的两条切线相交于点Q2,不妨设点Q2的坐标为点（x2,y2）,则有ax2+by2等于r2.根据ax1+by1等于r2及ax2+by2等于r2可知,点Q1,Q2均在直线ax+by等于r2上,于是直线Q1Q2即为直线l（如图3）.
如学至《必修4》,我们还可利用向量方法给出这三条直线方程的证明.
1.点P（a,b）在圆O：x2+y2等于r2（r>0）上,则过点P与圆O相切的直线l的方程为ax+by等于r2.
2.点P（a,b）在圆O：x2+y2等于r2（r>0）外,过点P作圆O的两条切线PA,PB（A,B为切点）,则直线AB的方程为ax+by等于r2.
证明 如图5,设Q（x,y）为直线AB上任意一点,
3.点P（a,b）在圆O内（异于坐标原点O）,过点P任作两条直线l1,l2交圆O于点A1,B1;A2,B2,分别过点A1,B1作圆O的两条切线相交于点Q1,分别过点A2,B2作圆O的两条切线相交于点Q2,则直线Q1Q2的方程为ax+by等于r2.
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