证明作用和挑战对数学教学影响,这篇数学教学影响论文范文为免费优秀学术论文范文,可用于相关写作参考。
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【摘 要】上个世纪,人们重新审视数学的本质,出现了很多的关于证明的观点,如：“证明是数学实践的反映”,“证明是促进数学理解的一个极其重要的工具”,“证明可以用来交流数学理解”等.最近,证明在数学和数学教育中的作用受到了质疑,甚至有人预测,证明将消失.这种质疑来自数学内部、数学教育、社会价值和经验科学的挑战,对数学教学产生了重要影响.
【关键词】证明作用；证明挑战；数学教学
1证明的作用
证明在数学教育中的最重要的作用是认知建构和意义交流.然而,回顾20世纪五六十年代的“新数”运动,有一主流观点：中等学校的数学课程要更好地反映数学,必须强调形式逻辑和严格证明,因为：（1）在现代数学理论中,关于数学证明,存在着一些公认的标准；（2）严格证明是现代数学实践的特征.这两个观点都是错误的[1].首先,回顾关于数学的本质的一些主要论述,如：逻辑主义、形式主义、直觉主义和准经验主义等,就会发现,关于证明在数学中的作用和数学证明的标准,存在不同的观点；其次,审视数学实践,在数学家的眼中,和“认知和意义”相比,“严格”居于第二位,只有当证明能够促进真正的数学认知,它才合理和令人信服.
数学家接受一个新的数学定理,只有当定理满足以下条件：（1）他们理解这个定理（包括定理中的概念、前提和意义）,而且没有迹象表明它是不正确的；（2）定理非常重要,对某个或几个数学分支有意义,使他们有充分的理由对之进行详细的研究和分析；（3）定理和公认的结果相一致；（3）定理的发现者是此领域的权威；（4）他们曾经遇到过关于此定理的令人信服的证明.在数学课堂上,教师们要传授给学生关于证明本身的更重要的作用,即强调认知建构和意义交流而不仅是形式演绎.
2历史的挑战
2.1来自数学的挑战
计算机对数学的发展起了巨大的推动作用,重新激起了数学家们对算法和离散方法的兴趣,增强了对构造性证明的依赖,出现了一些新的证明方式,主要有三种：（1）使用计算机构造或论证一些非常长的证明,如“四色定理”的机器证明；（2）零知识证明；（3）全息证明.于是,一部分人声称“证明本身即将灭亡”.
其实,以上三种证明本质上仍然是分析（演绎）证明,从这个意义上讲,它们还是传统的证明.越来越多的数学家们似乎正超越分析（演绎）证明的边界,转而使用计算机实验证实数学理论,如混沌理论和非线性动力系统.在美国明尼苏达州的几何研究中心,数学家们借助计算机,通过图形展示来研究四维超级立方体和其它图形或研究一些变化,如球体的旋转和碰撞.这些探索本身和传统的作为分析科学的数学并不矛盾,只是在从探索得出一般结论的时候,这些数学家们似乎回到经验科学的方法.这个几何研究中心创立了一个杂志《实验数学》,极力提倡计算机的使用.
这些新发展给数学家们和哲学家们提出了一些新的问题：这些证明代表着未来的发展方向吗?在数学中有一席之地吗?我们能够称它们是证明吗?数学家们应该接受那些很可能正确的数学命题吗?如果不能,它们的地位又是怎样的?实验证明和演绎证明之间的关系如何定位?数学家们还在继续讨论这些问题,而这正反映了证明在数学中的作用的重要性.
即使关于以上问题有了一致的观点,即使这个一致中仍有很大一部分存在分歧,数学家们都坚持证明的重要性.我们现在用新的证明方式做的一些事情,可能在将来不被认可,但证明本身仍是有活力的,借助技术的力量,数学家们创造了新的证明方法,甚至新的数学思维方式,但他们绝不会放弃证明的思想.
2.2来自数学教育的挑战
2.21“新数”运动
在“新数”运动之前,证明教学局限于几何,似乎是为了形式而教,而不是为了更深刻的数学认知,一些经典的证明没得到重视.20世纪50年代后期,受到数学的巨大发展,特别是能将很多数学分支统一起来的集合论的新发展,新数运动的兴起,数学教育界特别重视公理结构和证明并将它们引入数学课程,这使得证明教学远远超越了几何的界限.这一改革目的就是要促进数学认知,遗憾的是,没有达到预期的目标.自从“新数”运动失败后,在全世界的学校数学课程中,任何形式的证明的地位都渐渐地下降.这主要归因于课程改革和数学教育理论,数学教育家们对于证明的认识,而不是数学本身的创新.
2.22回到基础
“回到基础”的根基是行为主义学习理论,和布鲁姆、加涅、奥苏贝尔和沙利文等人的工作密切有关,尝试给学生确定恰当的行为目标,促进“掌握学习”,这是一个有计划的学习方式,重视一些非常特殊的技巧,如算术、算法和某些问题的一步一步的解题步骤,但忽视了证明和其它形式的论证.
2.23新兴学习理论
在“回到基础”之后,又出现了“发现教学”、“合作学习”、“问题解决学习”和“课堂交流”等新兴学习理论,虽都没有被普遍接受和推广,但都对课程有过重要影响.虽然,它们都没有特意反对证明教学,但它们确实转移了对证明的重视.
2.24建构主义
20世纪90年代,最有影响的数学教育理论是“建构主义及其各种形式”,强调知识不能被传授,必须以学生为中心,由学生自我建构.建构主义引入数学课堂,削弱了教师在课堂上的重要性,这对证明教学不利.建构主义提倡教师不要给出数学证明或在论证中扮演主动角色,只要给学生提供有限的帮助,让学生自己论证,不用干预,教师扮演着“调节者”的角色或者说“中立角色”.这种“中立角色”是有问题的,我们希望培养学生探究问题和进行论证的能力,这需要教师进行引导和对学生的不同的判断加以确认和评价,促进他们协调认知、分享知识和方法.研究证明,教师在帮助学生理解“为什么需要证明”,“怎样证明”和“证明是否正确”的过程中的作用至关重要,期望学生重新发现复杂的或创造性的证明方法是不现实、不高效的,故意回避教师的帮助,似乎不明智,学生需要教师的积极的介入.
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